x in (0, pi/2) માટે int_{0}^{sin^2 x} sin^{-1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) ધારો કે $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે લે

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(C) ધારો કે $I(x) = \int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરવા માટે લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $I'(x) = \sin^{-1}(\sqrt{\sin^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\sin^2 x) + \cos^{-1}(\sqrt{\cos^2 x}) \cdot \frac{d}{dx}(\cos^2 x)$. $x \in (0, \pi/2)$ હોવાથી,$\sin x > 0$ અને $\cos x > 0$,તેથી $\sqrt{\sin^2 x} = \sin x$ અને $\sqrt{\cos^2 x} = \cos x$. $I'(x) = (x) \cdot (2 \sin x \cos x) + (x) \cdot (-2 \cos x \sin x)$. $I'(x) = x \sin(2x) - x \sin(2x) = 0$. વિકલન $0$ હોવાથી,$I(x)$ એક અચળ છે. અચળ કિંમત શોધવા માટે $x = \pi/4$ મૂકતા: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{1/2} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$. નિત્યસમ $\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t} = \pi/2$ નો ઉપયોગ કરતા: $I(\pi/4) = \int_{0}^{1/2} (\sin^{-1} \sqrt{t} + \cos^{-1} \sqrt{t}) \, dt = \int_{0}^{1/2} \frac{\pi}{2} \, dt = \frac{\pi}{2} [t]_{0}^{1/2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi}{4}$.

$x \in (0, \pi/2)$ માટે $\int_{0}^{\sin^2 x} \sin^{-1} \sqrt{t} \, dt + \int_{0}^{\cos^2 x} \cos^{-1} \sqrt{t} \, dt$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\cot x}}{\sqrt{\cot x}+\sqrt{\tan x}} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,$\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\sum_{n=1}^{10} \int_{-2n-1}^{-2n} \sin^{27} x \, dx + \sum_{n=1}^{10} \int_{2n}^{2n+1} \sin^{27} x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x \, dx}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} = ?$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module